Teknik Analisis Nonlinear Metode Elemen Hingga

1) Persamaan Keseimbangan Nonlinier

Persamaan keseimbangan struktur nonlinier dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai berikut :

[K(u)] {u} = {Fa} (4)

dimana : [K(u)] = matriks kekakuan struktur, {u}= vektor perpindahan yang tidak diketahui dan {Fa} = vektor beban yang dikerjakan. Karena matriks kekakuan [K(u)] adalah fungsi dari perpindahan {u} atau turunannya maka persamaan tersebut adalah nonlinier. Dengan melakukan diskritasi struktur menjadi elemen-elemen dan titik nodal serta memasukkan kondisi-kondisi batas struktur baik perpindahan titik nodal maupun gaya titik nodal maka solusi persamaan dapat dilakukan.

2) Teknik Solusi dengan Metode Newton-Rhaphson

Metode Newton-Raphson adalah sebuah proses iterasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dan dapat ditulis sebagai berikut :

[K^Ti] {Du.i} = {Fa}- {F^nri} (5)

{u._i+1} = {u.i} + {Du.i} (6)

dimana : [K^Ti] = matriks tangen (singgung), {u.i} = adalah vektor perpindahan i= subskrip yang menunjukkan iterasi keseimbangan sedang berlaku, {F^nri} = vektor beban restore berhubungan dengan gaya atau tegangan elemen. [K^Ti] dan {F^nri} dievaluasi berdasarkan nilai yang diberikan {u.i} menggunakan formulasi yang diturunkan oleh Nour-Omid and Rankin (1991). Sisi kanan persamaan (5) adalah residu atau vektor beban out-of-balance.

Solusi yang diperoleh pada akhir proses iterasi berhubungan dengan level beban {Fa}. Solusi konvergensi akhir akan berada dalam keseimbangan sampai vektor beban restore (dihitung dari tegangan yang terjadi) sama atau mendekati dengan vektor beban yang dikerjakan {Fa}. Proses inkremental prosedure Newton-Raphson akan konvergen jika dan hanya jika solusi pada setiap iterasi {u.i} mendekati solusi eksaknya.

3) Teknik Solusi dengan Metode Panjang Busur

Metode panjang busur menggunakan iterasi busur untuk mempertahankan ortogonalitas antara jari-jari panjang busur dengan arah ortogonal. Hal ini berangkat dari asumsi bahwa semua besaran beban dapat dikontrol dengan sebuah parameter skalar (sebagai faktor beban). Ilustrasi Metode panjang busur ditunjukkan pada Gambar 5(b).

Persamaan nonlinear pada prosedur panjang busur diturunkan oleh Forde dan Stiemer (1987), ditulis sebagai berikut :

[K^Ti ] {Du.i} = l {Fa}{F^nri} (7)

dimana pada umumnya nilai total faktor beban l berkisar -1 ³ l ³1 .

L²i = l²i + b² {Du_n}^T{Du_n} (8)

Dimana : b = faktor skala (dalam unit perpindahan) diguanakan untuk memastikan skala koreksi pada persamaan, {Du_n} = jumlah semua inkremental perpindahan pada {u_i } iterasi i, Li = adalah radius panjang busur (ANSYS R.9.0., 2004).

Bagan alir prosedur inkrementasi beban seperti terlihat pada Gambar 6.