Nonlinear finite elements/Lagrangian and Eulerian descriptions

< Nonlinear finite elements

In our study of the axially loaded bar, we have assumed that the area of cross section remains constant during the deformation. Therefore, the physical stress is not affected by the area of cross section of the rod. However, in most materials, the area of cross section changes with deformation. This change is most prominent during large deformations. In this handout, we will discuss a Lagrangian finite element formulation for large deformations.^[1]

There are two main ways of approaching problems that involve the motion of deformable materials - the Lagrangian way and the Eulerianway. These approaches are distinguished by three important aspects:

The mesh description.
The stress tensor and momentum equation (kinetics).
The strain measure (kinematics).

[hide]

Definitions[edit]

Some essential definitions are given below:

Spatial or Eulerian coordinates ( $\mathbf{x}$ ):

These coordinates are used to locate a point in space with respect to a fixed basis. You can think of these coordinates as the ones you are familiar with.

Material or Lagrangian coordinates ( $\boldsymbol{X}$ ):

These coordinates are used to label material points. If we sit on a material point, the label does not change with time. We do start with areference label which we usually choose as the initial spatial coordinates of a material point.

Motion or Deformation $(\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{X},t))$ :

A motion or deformation is defined as a mapping between the initial and the current configuration. We usually write this relationship as

$\mathbf{x} = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{X}, t) ~.$

The initial configuraton is

$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{X}, 0) ~.$

Displacement $(\mathbf{u}(\boldsymbol{X},t))$ :

The displacement is defined as the difference between the reference and the current configuration. We write

$\mathbf{u}(\boldsymbol{X}, t) = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{X}, t) - \boldsymbol{X} \equiv \mathbf{x} - \boldsymbol{X} ~.$

Velocity $(\mathbf{v}(\boldsymbol{X},t))$ :

The velocity of a material point is the derivative of the motion with $\boldsymbol{X}$ fixed.

$\mathbf{v}(\boldsymbol{X}, t) = \frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{X}, t)) ~.$

Acceleration $(\mathbf{a}(\boldsymbol{X},t))$ :

The acceleration of a material point is the derivative of the velocity with $\boldsymbol{X}$ fixed.

$\mathbf{a}(\boldsymbol{X}, t) = \frac{\partial }{\partial t}(\mathbf{v}(\boldsymbol{X}, t)) ~.$

An example[edit]

Let us consider a one-dimensional problem. Assume that the motion is

$x = \varphi(X, t) = 1 + X(1 + 2t + t^2) ~.$

The inverse of the map

φ

gives us

X

in terms of

x

, i.e.,

$X = \varphi^{-1}(x, t) = \cfrac{x - 1}{1 + 2t + t^2} ~.$

Then the displacement of the material point

X

$u(X, t) = x - X = 1 + X(2t + t^2) ~.$

The velocity of the material point is

$v(X, t) = \frac{\partial x}{\partial t} = 2X(1 + t) \qquad \leftarrow \qquad \text{ Lagrangian description of velocity.}$

We could alternatively wish to express the velocity in terms of the spatial coordinate

x

. In that case, we have

$\bar{v}(x, t) = v(\varphi^{-1}(x,t),t) = \cfrac{2(x-1)(1+t)}{1+ 2t + t^2} \qquad \leftarrow \qquad \text{ Eulerian description of velocity.}$

Note that

v (X, t)

and $\bar{v}(x,t)$ give us different ways of expressing the same quantity. To keep the number of symbols reasonably small, we usually represent both functions with the same symbol (

v

) and determine which form we are talking about on the basis of the arguments.

We can find the Lagrangian and Eulerian versions of the acceleration in a similar manner. Thus,

$a(X, t) = \frac{\partial v}{\partial t} = 2X \qquad\leftarrow \qquad \text{Lagrangian description of acceleration,}$

and

$a(x, t) = a(\varphi^{-1}(x,t),t) = \cfrac{2(x-1)}{1+ 2t + t^2} \qquad\leftarrow \qquad \text{Eulerian description of acceleration.}$

Lagrangian and Eulerian Meshes[edit]

The Lagrangian and Eulerian descriptions can be visualized in terms of the corresponding meshes (see Figure 1).

Figure 1(a). Lagrangian Mesh

Figure 1(b). Eulerian Mesh

We can think of the Lagrangian mesh as being drawn on the body. The mesh deforms with the body. Both the nodes and the material points change position as the body deforms. However, the position of the material points relative to the nodes remains fixed.

On the other hand, the Eulerian mesh is a background mesh. The body flows through the mesh as it deforms. The nodes remain fixed and the materials points move through the mesh. The position of a material point relative to the nodes varies with the motion.

Some features, advantages, and disadvantages of the two descriptions are given below.

Lagrangian mesh

Lagrangian coordinates of nodes move with the material. Material coordinates of material points are time invariant.
No material passes between elements.
Element quadrature points remain coincident with material points.
Boundary nodes remain on the boundary. Therefore, boundary conditions and interface conditions are easily applied.
Severe mesh distortion can occur because the mesh deforms with the material.

Eulerian mesh

Eulerian coordinates of nodes are fixed and coincide with spatial points. Spatial coordinates of material points vary with time.
Material flows through the mesh.
The material point at a given element quadrature point changes with time. This makes dealing with history-dependent materials difficult.
Boundary nodes and the material boundary may not coincide. Therefore, boundary conditions and interface conditions are hard to apply.
There is no mesh distortion because the mesh is fixed in space. However, the domain that needs to be modeled is larger because we do not want the body to leave the domain.

References[edit]

↑This description is based on Nonlinear Finite Elements of Continua and Structures by T. Belytschko, W.K. Liu, and B. Moran.

The Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) approach has features of both resolves some of the problems discussed above.

Hingga nonlinier unsur / deskripsi Lagrangian dan Eulerian

< Nonlinier terbatas elemen

Dalam penelitian kami dari bar aksial dimuat, kita telah mengasumsikan bahwa daerah penampang tetap konstan selama deformasi. Oleh karena itu, stres fisik tidak terpengaruh dengan luas penampang batang. Namun, sebagian besar material, bidang perubahan penampang dengan deformasi. Perubahan ini paling menonjol selama deformasi besar. Pada handout ini, kita akan membahas formulasi elemen hinggaLagrangian untuk deformasi yang besar. ^[1]

Ada dua cara utama untuk mendekati masalah yang melibatkan gerak bahan mampudeformasi - cara Lagrangian dan cara Eulerian.Pendekatan-pendekatan ini dibedakan oleh tiga aspek penting:

Uraian mesh.
Tensor stres dan persamaan momentum (kinetika).
Ukuran strain (kinematika).

Isi

[hide]

Definisi[ sunting ]

Beberapa definisi penting diberikan di bawah ini:

Ruang atau Eulerian koordinat ( $\ Mathbf {x}$ ):

Koordinat ini digunakan untuk mencari titik dalam ruang sehubungan dengan dasar tetap. Anda dapat menganggap ini sebagai koordinat yang Anda kenal.

Material atau Lagrangian koordinat ( $\ Boldsymbol {X}$ ):

Koordinat ini digunakan untuk label poin material. Jika kita duduk di titik materi, label tidak berubah dengan waktu. Kita mulai denganlabel referensi yang biasanya kita pilih sebagai koordinat spasial awal titik materi.

Motion atau Deformasi $(\ Boldsymbol {\ varphi} (\ boldsymbol {X}, t))$ :

Sebuah gerakan atau deformasi didefinisikan sebagai pemetaan antara awal dan konfigurasi saat ini. Kami biasanya menulis hubungan ini sebagai

$\ Mathbf {x} = \ boldsymbol {\ varphi} (\ boldsymbol {X}, t) ~.$

Para konfigurasi awal adalah

$\ Boldsymbol {X} = \ boldsymbol {\ varphi} (\ boldsymbol {X}, 0) ~.$

Pemindahan $(\ Mathbf {v} (\ boldsymbol {X}, t))$ :

Perpindahannya didefinisikan sebagai perbedaan antara referensi dan konfigurasi saat ini. Kami menulis

$\ Mathbf {v} (\ boldsymbol {X}, t) = \ boldsymbol {\ varphi} (\ boldsymbol {X}, t) - \ boldsymbol {X} \ equiv \ mathbf {x} - \ boldsymbol {X} ~ .$

Kecepatan $(\ Mathbf {v} (\ boldsymbol {X}, t))$ :

Kecepatan titik materi adalah turunan dari gerak dengan $\ Boldsymbol {X}$ tetap.

$\ Mathbf {v} (\ boldsymbol {X}, t) = \ frac {\ partial} {\ partial t} (\ boldsymbol {\ varphi} (\ boldsymbol {X}, t)) ~.$

Percepatan $(\ Mathbf {a} (\ boldsymbol {X}, t))$ :

Percepatan titik materi adalah turunan dari kecepatan dengan $\ Boldsymbol {X}$ tetap.

$\ Mathbf {a} (\ boldsymbol {X}, t) = \ frac {\ partial} {\ partial t} (\ mathbf {v} (\ boldsymbol {X}, t)) ~.$

Contoh[ sunting ]

Mari kita mempertimbangkan masalah satu dimensi. Asumsikan bahwa gerak adalah

$x = \ varphi (X, t) = 1 + X (1 + 2t + t ^ 2) ~.$

Kebalikan dari

φ

peta memberi kita $X$ dalam hal $x,$ yaitu,

$X = \ ^ {-1 varphi} (x, t) = \ cfrac {x - 1} {1 + 2t + t ^ 2} ~.$

Kemudian perpindahan dari titik $X$ adalah bahan

$u (X, t) = x - X = 1 + X (2t + t ^ 2) ~.$

Kecepatan dari titik material adalah

$v (X, t) = \ frac {\ partial x} {\ partial t} = 2X (1 + t) \ qquad \ leftarrow \ qquad \ text {deskripsi Lagrangian kecepatan.}$

Kami alternatif bisa mengucapkan kecepatan dalam hal $x$ koordinat spasial. Dalam hal ini, kita memiliki

$\ Bar {v} (x, t) = v (\ ^ {-1 varphi} (x, t), t) = \ cfrac {2 (x-1) (1 + t)} {1 + 2t + t ^ 2} \ qquad \ leftarrow \ qquad \ text {Eulerian deskripsi kecepatan.}$

Perhatikan bahwa $v (X, t)$ dan $\ Bar {v} (x, t)$ memberi kita cara yang berbeda untuk mengekspresikan jumlah yang sama. Untuk menjaga jumlah simbol cukup kecil, kita biasanya mewakili kedua fungsi dengan simbol yang sama $(v)$ dan menentukan bentuk yang kita bicarakan atas dasar argumen.

Kita dapat menemukan versi Lagrangian dan Eulerian percepatan dengan cara yang sama. Dengan demikian,

$a (X, t) = \ frac {\ partial v} {\ partial t} = 2X \ qquad \ leftarrow \ qquad \ text {deskripsi Lagrangian percepatan,}$

dan

$(x, t) = a (\ ^ {-1 varphi} (x, t), t) = \ cfrac {2 (x-1)} {1 + 2t + t ^ 2} \ qquad \ leftarrow \ qquad \ text {Eulerian deskripsi percepatan.}$

Lagrangian dan Eulerian Meshes[ sunting ]

Uraian Lagrangian dan Eulerian dapat divisualisasikan dalam hal jerat yang sesuai (lihat Gambar 1).

Gambar 1 (a). Lagrangian Mesh

Gambar 1 (b). Eulerian Mesh

Kita bisa memikirkan mesh Lagrangian sebagai ditarik pada tubuh. Mesh deformasi dengan tubuh. Kedua node dan bahan posisi poin perubahan sebagai tubuh deformasi. Namun, posisi bahan menunjukkan relatif terhadap node tetap tetap.

Di sisi lain, mesh Eulerian adalah mesh latar belakang. Tubuh mengalir melalui mesh karena deformasi. Node tetap tetap dan titik bahan bergerak melalui mesh. Posisi titik materi relatif terhadap node bervariasi dengan gerakan.

Beberapa fitur, keuntungan, dan kerugian dari dua deskripsi diberikan di bawah ini.

Lagrangian jala

Lagrangian koordinat bergerak node dengan materi. Bahan koordinat titik material berubah terhadap waktu.
Material lewat di antara elemen.
Elemen poin kuadratur tetap bertepatan dengan poin material.
Node Batas tetap pada batas. Oleh karena itu, kondisi batas dan kondisi antarmuka yang mudah diterapkan.
Distorsi jala berat dapat terjadi karena mesh deformasi dengan materi.

Eulerian jala

Koordinat Eulerian node adalah tetap dan bertepatan dengan poin spasial. Koordinat spasial poin material bervariasi dengan waktu.
Bahan mengalir melalui mesh.
Titik materi pada quadrature perubahan diberikan titik elemen dengan waktu. Hal ini membuat berurusan dengan sejarah yang tergantung bahan sulit.
Batas node dan batas materi mungkin tidak bersamaan.Oleh karena itu, kondisi batas dan kondisi antarmuka sulit untuk diterapkan.
Tidak ada distorsi karena jaring mesh adalah tetap di ruang angkasa. Namun, domain yang perlu dilakukan adalah lebih besar karena kita tidak ingin tubuh untuk meninggalkan domain.

Referensi[sunting]

↑Deskripsi ini didasarkan pada Elemen Hingga Nonlinier dari Continua dan Struktur oleh T. Belytschko, WK Liu, dan B. Moran.

The Lagrangian-Eulerian Sewenang-wenang (ALE) pendekatan memiliki fitur dari kedua menyelesaikan beberapa masalah yang dibahas di atas.

Category:

Nonlinear finite elements

catatan kuliah

Jumat, 02 Maret 2012