Sistem Persamaan Linier
• Tujuan : mencari n bilangan tak diketahui dari n persamaan.
• Sistem persamaan :
f1(x1, x2, x3, … , xn) = 0
f2(x1, x2, x3, … , xn) = 0
f3(x1, x2, x3, … , xn) = 0
……
……
fn(x1, x2, x3, … , xn) = 0
Akan dicari nilai x1, x2, x3, … , xn yang memenuhi sistem persamaan di atas.
Bentuk Umum
• Dalam bab ini akan dipelajari sistem persamaan linier dengan bentuk umum :
a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = b2
……
……
an1x1 + an2x2 + ….. + annxn = bn
Dengan a adalah koefisien konstan, n adalah jumlah persamaan, dan x1, x2, ……, xn adalah bilangan tak diketahui.
MATRIKS
• Matriks adalah larikan bilangan yang terdiri dari baris dan kolom dengan bentuk empat persegipanjang.
• Deretan horisontal disebut baris.
• Deretan vertikal disebut kolom.
• Subskrip i menunjukkan nomor baris
• Subskrip j menunjukkan nomor kolom
Bentuk Matriks
• Matriks berdimensi m kali n (mxn) artinya matriks mempunyai m baris dan n kolom.
• Matriks vektor baris : matriks dengan dimensi baris m = 1.
• Matriks vektor kolom : matriks dengan dimensi kolom n = 1.
• Matriks bujursangkar : jumlah baris = jumlah kolom (m=n)
Matriks Bujursangkar
• Banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier.
• Dalam sistem tersebut, jumlah persamaan (=jumlah baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (=jumlah kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.
Tipe Matriks Bujursangkar
- Matriks simetris, apabila aij = aji.
- Mariks diagonal : matriks bujursangkar dimana semua elemen kecuali diagonal utama adalah nol.
- Matriks identitas : matriks diagonal dimana semua elemen pada diagonal utama adalah 1.
- Matriks segitiga atas : matriks dimana semua elemen di bawah diagonal utama adalah nol.
- Matriks segitiga bawah : matriks dimana semua elemen di atas diagonal utama adalah nol.
- Matriks pita : matriks yang mempunyai elemen sama dengan nol kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama.
Operasi Matriks
- Kesamaan dua matriks
- Penjumlahan matriks
- Perkalian matriks
- Matriks transpose
- Matriks inversi
- Peningkatan matriks
SISTEM PERSAMAAN DALAM BENTUK MATRIKS
• Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks.
a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = b2
……
……
an1x1 + an2x2 + ….. + annxn = bn
Persamaan di atas ditulis dalam bentuk matriks menjadi :
AX = B
Dengan :
A : matriks koefisien n x n
X : kolom vektor n x 1 dari bilangan tak diketahui
B : kolom vektor n x 1 dari konstanta
Dalam penyelesaian sistem persamaan dicari vektor kolom X berdasarkan persamaan di atas.
Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Dengan matriks:
- Metode Eliminasi Gauss
- Metode Gauss-Jordan
- Metode Sapuan Ganda Choleski
Dengan iterasi
- Metode Jacobi
- Metode Gauss Seidel
1. Metode Eliminasi Gauss
Prosedur penyelesaian dari metode eliminasi Gauss adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga atas sedemikian sehingga salah satu dari persamaan-persamaan tersebut hanya mengandung satu bilangan tak diketahui, dan setiap persamaan berikutnya hanya terdiri dari satu tambahan bilangan tak diketahui baru.
Prosedur Metode Eliminasi Gauss
x3 = b’’3/a’’33
x2 = (b’2 – a’23x3)/a’22
x1 = (b1 – a12x2 – a13x3)/a11
2. Metode Gauss-Jordan
Metode Gauss-Jordan cukup mirip dengan metode eliminasi Gauss.
Metode Gauss-Jordan cukup mirip dengan metode eliminasi Gauss.
Dalam metode Gauss-Jordan, bilangan tak diketahui dieliminasi dari semua persamaan, yang dalam metode Gauss bilangan tersebut dieliminasi dari persamaan berikutnya.
Prosedur Metode Gauss-Jordan
3. Matriks Tridiagonal (Metode Sapuan Ganda Choleski)
Suatu sistem persamaan dapat berbentuk matriks tridiagonal (matriks pita).
Penyelesaian langsung dari sistem persamaan tersebut sering disebut metode sapuan ganda atau metode Choleski.
Matriks Tridiagonal
Metode Iterasi
• Beberapa metode yang ditampilkan sebelumnya termasuk dalam metode langsung.
• Selain secara langsung, dikenal juga metode iterasi.
• Dalam hal tertentu, metode ini lebih baik dibanding dengan metode langsung, misalnya untuk matriks yang tersebar yaitu matriks dengan banyak elemen nol.
• Metode ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan tidak linier.
1. Metode Jacobi
Dipandang sistem 3 persamaan dengan 3 bilangan tidak diketahui :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
• Persamaan pertama dari sistem di atas dapat digunakan untuk menghitung x1 sebagai fungsi dari x2 dan x3. demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung x2 dan x3, dan seterusnya.
• Hitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sebarang untuk variabel yang dicari (biasanya semua variabel diambil sama dengan nol).
• Nilai perkiraan awal tersebut disubstitusikan ke dalam ruas kanan dari sistem persamaan.
• Selanjutnya nilai variabel yang didapat tersebut disubstitusikan ke ruas kanan dari sistem lagi untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua.
• Prosedur diulangi lagi sampai nilai setiap variabel pada iterasi ke n mendekati nilai pada iterasi ke n-1.
Metode Gauss-Seidel
• Dalam metode Jacobi, nilai x1 yang diperoleh dari persamaan pertama tidak digunakan untuk menghitung nilai x2 dengan persamaan kedua. Demikian juga nilai x2 tidak digunakan untuk mencari x3, sehingga nilai-nilai tersebut tidak dimanfaatkan.
• Sebenarnya nilai-nilai baru tersebut lebih baik dari nilai-nilai yang lama.
• Dalam metode Gauss-Seidel nilai-nilai tersebut dimanfaatkan untuk menghitung variabel berikutnya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar